树状数组与线段树

树状数组与线段树的关系是完全包含关系，就是说只要是树状数组能求解的问题用线段树也能求解，但是树状数组有他的好处：① 代码短 ② 常数很小，即运行效率高。

树状数组

lowbit操作

看树状数组前，先看一下lowbit操作。

假如x的末尾有k个零，则lowbit(x)返回的是。举个例子：若x = 10010000则lowbit(x)返回的是就是10000。

那么如何写lowbit操作呢？ lowbit(x) = x & -x，下面来简单的验证一下：

先假设int占四个字节：

分析

树状数组的作用：快速的求前缀和。 有专门的求前缀和的算法，但是那个算法不支持修改操作，也就是说只能算静态的序列，而树状数组可以维护动态的序列。

树状数组支持的操作：① 给某个位置的数加上常数c ② 求前缀和

画一下线段树的前十六个点以便于理解：

两个核心操作的代码：

① 给某个位置的数加上常数c：

void add(int x, int c)
{
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        tr[i] += c;
}

② 求前缀和：

int query(int x)
{
    int res = 0;
    for (int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i))
        res += tr[i];
    return res;
}

时间复杂度

修改操作：修改下标x时对该点以及父节点进行修改，因为树最多只有层，所以时间复杂度为。 查询操作：减去lowbit(x)时最少要减去一位，时间复杂度也为。

所以总的时间复杂度为：*

模板题

C++代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], tr[N];

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

void add(int x, int c)
{
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        tr[i] += c;
}

int query(int x)
{
    int res = 0;
    for (int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i))
        res += tr[i];
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) add(i, a[i]);

    int k, x, y;
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d%d", &k, &x, &y);
        if (!k) printf("%d\n", query(y) - query(x - 1));
        else add(x, y);
    }

    return 0;
}

Java代码

import java.util.Scanner;
public class Main{
    static int N = 100010;
    static int n, m;
    static int[] a = new int[N];
    static int[] tr = new int[N];
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        n = scan.nextInt();
        m = scan.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = scan.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) add(i, a[i]);
        
        int k, x, y;
        for (int i = 0; i < m; i++){
            k = scan.nextInt();
            x = scan.nextInt();
            y = scan.nextInt();
            if (k == 0) System.out.println(query(y) - query(x - 1));
            else add(x, y);
        }
    }
    public static int lowbit(int x){
        return x & -x;
    }
    public static void add(int x, int c){
        for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
            tr[i] += c;
    }
    public static int query(int x){
        int res = 0;
        for (int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i)){
            res += tr[i];
        }
        return res;
    }
}